変圧器起電力とは?-ファラデーの法則とフレミングの法則の違い

電子・電気回路

今回は電気磁気学に関する話です。

発生する起電力を考える時などに、「フレミング使えばいいじゃん。」と思うことは結構あるくらいには、とても便利な法則です。

しかしファラデーの法則でしかできないことも、もちろんあります。

今回はファラデーの法則で扱える、「変圧器起電力」に関する記事です。

ファラデーの法則とフレミングの法則

ファラデーの法則は電磁誘導における考え方を示した法則ですね。

回路に誘導される起電力は回路に鎖交する磁束の時間変化に対応する、という法則です。

式で表すと、次のようになりますね。

$$e=-N\frac{dφ}{dt}$$

ただし、

  • N:巻き数
  • φ:磁束
  • e:誘導起電力
  • Ψ:鎖交磁束

です。

起電力を磁束を中心に考える有名な式ですね。

一方のフレミングの法則は右手の法則と左手の法則の二つがありますね。

一つは電流$i$と磁界(式では磁束密度$B$を使いますが)によって力$f$が発生するという左手の式です。

$$f=i \times B \times l [N]$$

個人的には中学から左手は習うのでより有名だと思います。

もう一つは磁界と運動(速度)$v$から起電力$e$が生まれるという右手の式です。

$$e=v \times B \times l [V]$$

磁界や電流、物体の速度から簡単に起電力の大きさなどを求められる便利な式です。

右ネジの法則を使えば、発生するベクトルの向きまで扱えるのもよい点ですね。

フレミングの右手に関して言えば求めるものはおなじですが、過程が異なる、といった感じですね。

ただあまりにフレミングの右手の法則が便利なので一つ疑問が生じます。

コイルに鎖交する磁束などを考える場合以外はファラデーの法則いらないのでは?

というシンプルかつナチュラルな疑問です。

まぁ、そんなことはないわけですね。

フレミングの法則から起電力$e$を求めてみる

ファラデーの法則は、磁束を考えなければ意味がないのか?

それを否定するために、モーターを例に考えてみます。

普通のモーターだと少し面倒なので、コイル一回巻のモーターで考えます。

まずはフレミングの法則からです。

一回巻コイルをモータに例えて考えてみる

モータを最もシンプルな模型で考えるとわっか状のコイル一つに例えることができます。

モータが回転するとき、このコイルは速度$\omega$で回転すると言えますが、これをコイルの端が回転する速度$v$(円の接線方向の速度)で表すことにします。

コイルを真横からみて単振動の考え方を取り入れれば、磁束の向き$B$に対して垂直な速度成分$v$は次の式で考えることができます。

$$v= \frac{a}{2} \omega sin \theta = \frac{a}{2} \omega sin( \omega t)$$

ここで大体の人はん?と思いますね。

単振動の式は一般に次の式で表されるからです。

$$v= \frac{a}{2} \omega cos( \omega t)$$

ただ重要なのは、今考えているのは磁束密度の向き$B$に対して垂直なものを考えている、ということです。

上記の単振動の式のままだと、速度が0になるのは$\theta=90^{\circ}$のときになりますね。

つまり磁束$B$と磁束中を動いているコイルの棒が垂直に交わるときに速度$v$が0になっている

ということになってしまいます。

図で説明すると少しわかりやすくなるかもしれません。↓

コイルを真横から見ると円運動に見えます。単純に単振動なら、位置が$sin$関数で表されていて、これが正から負に切り替わるとき、縦方向に示した$cos$関数で表される速度$v$が最大になるはずです。

ですが、電磁誘導ではコイルの動く向きと磁束の向きが直交する時に速度が最大になる(発生する力が最大になる)はずです。

おかしい理由が分かりますね。

なので単振動における式を$90^{\circ}$だけ左回りに回転させた式、すなわ$cos$➡$sin$に変更した式が

磁束中を回転するコイルの回転する速度(円の接線方向の速度)を表す式になると言えます。

電磁誘導においてどこが最大でどこが最小になるかを考えると、単振動との違いがわかります。)

起電力$e$を考える-フレミング

ここでこの速度$v$を使用してフレミングの右手の法則から発生する起電力を考えてみます。

モーターだけど起電力?と思うかもしれませんが、
それはいったんおいておいてもこの記事では問題ありません。

フレミングの右手の法則からいま求めた$v$を使って起電力$e$を求めてみます。

基準をそろえるため、時刻$t$はコイルと磁界が垂直に交わった時、つまりコイルが磁束中を平行に動いていて起電力$e$が発生しない(0である)ときを$t=0$として考えます。

一つ上の図の「開始地点」と書いたところです。
(コイルが横方向に寝ている時、ということです。)

フレミングの右手の式に、求めた$v$を代入してみましょう。

$$e=vBl$$

$$=( \frac{a}{2} \omega sin(\omega t) ) \times Bl$$

ただし一点注意です。

今回考えている一回巻のコイルにおいては上の辺としたの辺で速度$v$が存在します。

どちらもコイルの回転を助ける向き(回そうとする向き)に働くので、速度は単純に合わせて二倍の$v$ということになります。

よって起電力は上と下の2つの和ということになるので、上の式を2倍した値を$w=vBl$に代入することになります。

よって、

$$e=2 \times ( \frac{a}{2} \omega sin(\omega t)) \times Bl $$

$$e= Bal \omega sin(\omega t)$$

となります。速度$v$で使った$a$などが入っているのでちょっと形は変わってしまいましたが、フレミングの右手の法則から導き出した式、という事実は変わりません。

ファラデーの法則から起電力$e$を求めてみる

次にファラデーの法則から起電力$e$を求めてみることにします。

ファラデーの法則による起電力$e$は、単位時間あたりに鎖交した磁束$φ$をもとに考える式です。

なのでまずは鎖交磁束$φ$を考える必要があります。

ちょっと定義を持ってくることになりますが、磁束$φ$と磁束$B$、磁束が鎖交する面積$S$の間には以下の式の関係が存在します。

$$φ=BS$$

これを今回の場合に当てはめると、磁束$B$は一定なので変化せず、磁束が通る面積$S$(コイルの内側を垂直に鎖交する面積)だけが変化します。

面積が変化する、というと少しわかりにくいですが、磁束の向きの上方向から見ればわかりやすいですね。磁束が通る面積が小さくなったり大きくなったりする、というだけの話です。

図にすると以下のような感じになります。

磁束の上か下のどちらかから見て、投影される面積、とみれば簡単ですね。

フレミングの法則を使ったときと時間$t$の基準をそろえるとして、コイルが磁束に対して垂直(横方向に寝ている)である時を$t=0$とすれば、$\theta=0$の時に面積$S$は最大となり、$\theta= 90^{\circ} $の時に面積$S$は最小になります。

なので先ほど示した式と合わせて鎖交する磁束は次の式で表せます。

$$φ=B(S)$$

$$=B \times (a\times l \times cos(\omega t))$$

$$=alBcos(\omega t)$$

(※$cos(\omega t)$において$t=0$で$cos(0)=1$になりこのとき最大)

ここでファラデーの起電力の法則に戻ります。起電力$e$の大きさは鎖交磁束の時間変化に等しいので、(今回は一巻コイルなので$N=1$で、$ψ=φ$です。)

$$e=- \frac{dφ}{dt}$$

$$=- \frac{d( Bal cos(\omega t)) )}{dt} $$

これを計算すれば、

$$e=Bal \omega sin(\omega t)$$

となります。

あれ?同じじゃねえか?

となりますが、はい。ここまではおなじで全く問題ありません。

というかファラデーの法則を簡単に取り扱えるフレミングの法則での結果が、元の式による結果と異なってしまったら元も子もありませんね。

では何が違うのか?

次の例を考えてみます。

磁束密度$B$が変化したらどうなるか?

今まではコイルが回転する際に、そこに鎖交している磁束密度$B$については考えていませんでした。

でも磁束密度$B$の発生源となるものが永久磁石などであればいいですが、誘導電動機のように磁束もコイルで発生させます、みたいな場合はこの磁束密度$B$が変化すると考えられますね。(例です。)

よってここで磁束密度$B$(磁界)を時間で変化する関数とみて、以下の式でおいてみます。

$$B=Bsint(xt)$$

これをもとにファラデーの法則とフレミングの法則で考えてみましょう。

フレミングの法則

まずはフレミングの法則から考えてみます。

フレミングの法則は$e=vBl$をもとに求まるのでしたね。

よって同じように、$v$、$B$、$l$を単純に代入して、

$$e=2\times{\frac{a}{2} \omega sin(\omega t)}\times{Bsin(xt)}\times{l}$$

$$=al\omega Bsin(xt)sin(\omega t)$$

となりますね。

ファラデーの法則

次にファラデーの法則でも同じようにやってみます。

鎖交磁束$φ$は、$φ=BS$で求まるので、

$$φ=Bsin(xt)\times alcos(\omega t)$$

となります。

これをファラデーの法則に代入して起電力$e$を求めるとすると、時間$t$の関数は磁束密度$B$と面積$S$の2つあるので、積の微分公式を用いて解くことになります。

よって、

$$e=-\frac{dφ}{dt}$$

$$ =-1\times \frac{d\{ Bsin(xt)\times alcos(\omega t) \}}{dt} $$

$$=-1\times \{ (Bsin(xt))’ alcos(\omega t) +Bsin(xt) (alcos(\omega t))’ \}$$

$$=-alBxcos(xt)cos(\omega t)+alB \omega sin(xt)sint(\omega t)$$

となります。

うん、違うね。

ということで、磁束密度$B$を変化するものとしてとらえなおしたところ、新たな項が出現しました。

ちなみに右の項はフレミングで得られた結果と同じですね。

磁束密度$B$を時間の関数としてとらえると、起電力$e$を導出した時の答えがフレミングの法則とファラデーの法則とで異なる。

さあ、やっと違いがでてきましたね。

長かったです。

これがファラデーの法則とフレミングの法則の違いで、ファラデーの法則を用いなければ左側の項はでてきません。

このそれぞれの項について、

ファラデーの法則でしか現れなかった左側の項

$-alBxcos(xt)cos(\omega t)$「変圧器起電力」と言い、

たいして両方の法則で出てきた右側の項

$alB \omega sin(xt)sint(\omega t)$「速度起電力」と言います。

フレミングの法則があってもファラデーの法則が無くてもいい、とはならないのは理解できましたね。

まとめ

簡単にまとめてみます。

変圧器起電力とは?

コイルに鎖交する磁束$φ$が時間的に変化していた場合に発生する起電力のこと。

ファラデーの法則をもとに、磁束から考えて解くことによって導かれる。

速度起電力とは?

フレミングの右手の法則でもファラデーの法則でも求めることができる起電力。

ただし磁束が変化していたとしても、フレミングの右手の法則では確認できない点に注意。

速度に比例した起電力といえる。

以上、ファラデーの法則とフレミングの法則の違いでした。

一般に扱われる「誘導起電力」とは、この二つの起電力によって構成されるものです。

あんまり学校では扱わないかもしれませんね。

ただ時折ファラデーの法則の存在意義が謎になることがあると思ったときは、このことを思い出してみてください。

以上、ファラデーの法則とフレミングの法則の違いでした。

それでは。

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